10. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 900 км. Определить скорость его движения.

Дано:

• h = 900 км = 900000 м
• R_Земли = 6371 км = 6371000 м
• G = 6.674 × 10⁻¹¹ Н⋅м²/кг²
• M_Земли = 5.972 × 10²⁴ кг

Найти: v

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы гравитации. Сила гравитации обеспечивает центростремительное ускорение:

$$F_{грав} = G \frac{mM}{r^2}$$, где

m - масса спутника

M - масса Земли

G - гравитационная постоянная

r - расстояние от спутника до центра Земли (r = R + h)

Центростремительное ускорение:

$$a_{ц} = \frac{v^2}{r}$$.

По второму закону Ньютона:

$$G \frac{mM}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$$

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}}{(6371000 + 900000) \text{ м}}} = \sqrt{\frac{3.985 \times 10^{14} \text{ Н} \cdot \text{м}^2}{7271000 \text{ м} \cdot \text{кг}}} = \sqrt{5.480 \times 10^7 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 7402.7 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7.4 \frac{\text{км}}{\text{с}}$$.

Ответ: $$7.4 \frac{\text{км}}{\text{с}}$$