Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 20. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как \(CM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AB\):

\[AM=MB=\frac{20}{2}=10.\]

Обозначим \(AH=x\), тогда \(HB=20-x\). Поскольку \(CH\perp AB\), по теореме Пифагора:

\[CM^2=CH^2+(x-10)^2,\]

\[CB^2=CH^2+(20-x)^2.\]

По условию \(CM=CB\), поэтому:

\[(x-10)^2=(20-x)^2.\]

Следовательно, \(x-10=20-x\), откуда \(2x=30\), \(x=15\).

Ответ: 15.