10.5. Сторона AD четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Известно, что ДАВС = 108°, ∠BCD = 132°. Найдите углы BAD, ADC, CAD и BDA.

Ответ: ∠BAD = 48°, ∠ADC = 72°, ∠CAD = 42°, ∠BDA = 48°

1. \(AD\) - диаметр, значит, \[\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ\]
2. Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, значит сумма противоположных углов равна \(180^\circ\): \[\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ\]\[\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\]
3. В треугольнике \(ABD\): \[\angle ADB = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ\]
4. В треугольнике \(ABC\): \[\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB)\]Угол \(ACB\) найдем из треугольника \(ACD\), где \[\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ\]Тогда \[\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 132^\circ - 90^\circ = 42^\circ\]Получаем, \[\angle BAC = 180^\circ - (108^\circ + 42^\circ) = 30^\circ\]

Ответ: ∠BAD = 48°, ∠ADC = 72°, ∠CAD = 42°, ∠BDA = 48°