10.3. В прямоугольнике ABCD AB = 12 см, ∠CAD = 30°. Найдите ради- ус окружности, описанной около данного прямоугольника.

Ответ: 12 см

1. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где \[\angle BAC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) имеем: \[\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC}\]Отсюда, \[AC = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{12}{\sin(60^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\]
4. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине диагонали: \[R = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Ответ: 12 см