Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны ВС. Точка N – середина стороны CD. Докажите, что BN – биссектриса угла АВС.

Пусть ABCD - параллелограмм, CD = 2BC, N - середина CD. Нужно доказать, что BN - биссектриса угла ABC.

Так как N - середина CD, то CN = ND = CD/2. По условию, CD = 2BC, значит, CN = BC. Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD и AB = CD. Следовательно, CN = BC = AD.

Рассмотрим треугольник BCN. Так как CN = BC, то треугольник BCN равнобедренный, и углы CBN и CNB равны. Пусть угол CBN = x.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD, следовательно, AB || CN. Углы ABN и CNB являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CN и секущей BN, значит, угол ABN = угол CNB = x.

Таким образом, угол CBN = x и угол ABN = x. Значит, угол ABC = угол CBN + угол ABN = x + x = 2x. BN делит угол ABC на два равных угла, следовательно, BN - биссектриса угла ABC.

Что и требовалось доказать.