2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро пирамиды – 3 см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. 1) Высота пирамиды:
   • Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 4 \) см.
   • Боковое ребро пирамиды \( l = 3 \) см.
   • Пусть \( h \) — высота пирамиды, опущенная из вершины пирамиды в центр основания.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
   • Диагональ основания \( d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) см. Половина диагонали \( \frac{d}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
   • По теореме Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = \sqrt{1} = 1 \) см.
2. 2) Площадь боковой поверхности пирамиды:
   • Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти апофему (высоту боковой грани).
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой.
   • Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = 2 \) см.
   • Апофема \( a_{п} = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) см.
   • Площадь одной боковой грани \( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a_{п} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \) см².
   • Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5} \) см².

Ответ: 1) 1 см; 2) \( 8\sqrt{5} \) см²