Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Основание призмы — квадрат со стороной 12 см. Радиус вписанного в него цилиндра равен половине стороны: \(r=6\) см.

Боковая грань — прямоугольник. Проекция его диагонали на плоскость основания равна 12 см, поэтому высота призмы \(h=12\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\) см. Высота вписанного цилиндра равна высоте призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\(S=2\pi rh=2\pi\cdot6\cdot4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\pi\) см².

Ответ: \(48\sqrt{3}\pi\) см².