В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, которое пересекает его нижнее основание по хорде, стягивающей дугу с градусной мерой \(\alpha\), \(0^\circ<\alpha<180^\circ\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, равен \(d\) и образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь сечения.

Сечение — прямоугольник. Его высота равна перпендикулярной составляющей отрезка длины \(d\): \(h=d\sin\beta\).

Проекция этого отрезка на плоскость основания равна \(d\cos\beta\). Она проходит от центра основания до середины хорды. Если радиус основания равен \(R\), то из прямоугольного треугольника с центральным углом \(\alpha\): \(d\cos\beta=R\cos\frac{\alpha}{2}\).

Длина хорды равна \(2R\sin\frac{\alpha}{2}\), следовательно, \(R=\frac{d\cos\beta}{\cos(\alpha/2)}\).

Площадь сечения:

\(S=2R\sin\frac{\alpha}{2}\cdot h=2d^2\sin\beta\cos\beta\tan\frac{\alpha}{2}\).

Ответ: \(2d^2\sin\beta\cos\beta\tan\frac{\alpha}{2}\).