2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — √13 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим боковое ребро пирамиды:
   • Высота пирамиды падает в центр основания. В равностороннем треугольнике центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, и делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
   • Медиана равностороннего треугольника также является его высотой и биссектрисой. Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
   • В нашем случае сторона \(a = 6\) см, поэтому высота основания равна \(\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) см.
   • Тогда расстояние от центра основания до вершины (то есть \(\frac{2}{3}\) высоты) равно \(\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) см.
   • Боковое ребро можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, расстоянием от центра основания до вершины и боковым ребром:
   \(l^2 = h^2 + r^2\)
   где \(l\) — боковое ребро, \(h\) — высота пирамиды, \(r\) — расстояние от центра основания до вершины.
   \(l^2 = (\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{3})^2\)
   \(l^2 = 13 + 12 = 25\)
   \(l = 5\) см.
2. Находим площадь боковой поверхности пирамиды:
   • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
   • Апофема — это высота боковой грани. Высота боковой грани может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром.
   • Сторона основания \(a = 6\) см, значит, половина стороны \(\frac{a}{2} = 3\) см.
   • Апофема \(A\) находится по теореме Пифагора:
   \(A^2 = l^2 - (\frac{a}{2})^2\)
   \(A^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\)
   \(A = 4\) см.
   • Периметр основания \(P = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18\) см.
   • Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot A = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 4 = 36\) см².

Ответ: 1) Боковое ребро пирамиды равно 5 см; 2) Площадь боковой поверхности пирамиды равна 36 см².