Сторона равностороннего треугольника ABC равна $$4\sqrt{3}$$. Найдите длину разности векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$.

Обозначим сторону равностороннего треугольника как $$a$$, где $$a = 4\sqrt{3}$$. Нам нужно найти длину вектора $$\vec{AB} - \vec{CA}$$. Заметим, что $$\vec{CA} = -\vec{AC}$$, поэтому $$\vec{AB} - \vec{CA} = \vec{AB} + \vec{AC}$$. Длина суммы двух векторов равна $$\sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|cos(\angle BAC)}$$. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, следовательно, $$\angle BAC = 60^\circ$$. Тогда: $$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2cos(60^\circ)} = \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$. Подставим значение $$a = 4\sqrt{3}$$: $$a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$. Ответ: 12