В треугольнике ABC, стороны AB и BC равны 11, а угол BAC равен 30°. Найдите длину суммы векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$.

Пусть $$a = |\vec{BA}| = |\vec{BC}| = 11$$. Нам нужно найти длину вектора $$\vec{BA} + \vec{BC}$$. Длина суммы двух векторов вычисляется по формуле: $$|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2|\vec{BA}||\vec{BC}|cos(\angle между \vec{BA} и \vec{BC})}$$. Чтобы найти угол между векторами $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$, заметим, что $$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA$$. Так как $$AB = BC$$, то $$\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$$. Следовательно, $$\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$. Угол между векторами $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$ равен $$180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. Тогда: $$|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2cos(60^\circ)} = \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$. Подставим значение $$a = 11$$: $$11\sqrt{3}$$. Ответ: $$11\sqrt{3}$$