В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что $$AB = 8\sqrt{2}$$. Найдите скалярное произведение векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, стороны AC и BC равны. Обозначим их как $$a$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, то есть $$(8\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2$$, откуда $$128 = 2a^2$$, и $$a^2 = 64$$, следовательно, $$a = 8$$. Таким образом, $$AC = BC = 8$$. Скалярное произведение векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$ равно $$|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot cos(\angle BAC)$$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°, то есть $$\angle BAC = 45^\circ$$. Тогда скалярное произведение равно: $$8\sqrt{2} \cdot 8 \cdot cos(45^\circ) = 8\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot 8 \cdot \frac{2}{2} = 64$$. Ответ: 64