3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 4 см, угол между ними — 120°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Вычислите: а) длину высоты параллелепипеда; б) площадь большей боковой грани.

a) Найдем большую диагональ основания $$d$$ по теореме косинусов:
$$d^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot \cos{120°} = 9 + 16 - 24 cdot (-\frac{1}{2}) = 25 + 12 = 37$$
$$d = \sqrt{37}$$

Пусть $$h$$ - высота параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания, то есть она тоже равна $$\sqrt{37}$$.
Меньшая диагональ основания $$d_1$$ по теореме косинусов:
$$d_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot \cos{60°} = 9 + 16 - 24 cdot (\frac{1}{2}) = 25 - 12 = 13$$
$$d_1 = \sqrt{13}$$

Меньшая диагональ параллелепипеда образует прямоугольный треугольник с высотой $$h$$ и меньшей диагональю основания $$d_1$$.
По теореме Пифагора:
$$h^2 + d_1^2 = (\sqrt{37})^2$$
$$h^2 + 13 = 37$$
$$h^2 = 24$$
$$h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

б) Площадь большей боковой грани: $$S = 4 cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$$

Ответ: а) $$2\sqrt{6}$$ см, б) $$8\sqrt{6}$$ см$$^2$$