4. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Пусть $$h_b$$ - высота боковой грани (апофема), $$h_b = 10$$ см.
Пусть $$a$$ - сторона основания пирамиды.
Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
Тогда, высота пирамиды $$h$$ связана с апофемой $$h_b$$ и углом наклона $$\alpha = 60°$$ следующим образом:
$$\sin{\alpha} = \frac{h}{h_b}$$
$$h = h_b \sin{60°} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

Апофема $$h_b$$, половина стороны основания $$a/2$$ и высота пирамиды $$h$$ образуют прямоугольный треугольник, где:
$$\tan{\alpha} = \frac{h}{a/2}$$
$$\tan{60°} = \frac{5\sqrt{3}}{a/2}$$
$$\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{a}$$
$$a = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$$

Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$$ см$$^2$$.
Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P h_b = \frac{1}{2} (4a) h_b = 2ah_b = 2 cdot 10 cdot 10 = 200$$ см$$^2$$.
Полная поверхность пирамиды: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 200 = 300$$ см$$^2$$.

Ответ: 300 см$$^2$$