Стороны правильного треугольника ABC равны $$3\sqrt{3}$$. Найдите длину вектора $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$.

Пусть дан правильный треугольник ABC со стороной $$a = 3\sqrt{3}$$. Нужно найти длину вектора $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$. По правилу параллелограмма, сумма векторов $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ равна вектору $$\overrightarrow{AD}$$, где D - четвертая вершина параллелограмма ABDC, построенного на векторах $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$. Так как ABC - правильный треугольник, то ABDC - ромб. Диагональ AD ромба ABDC является также его высотой. Высота правильного треугольника, как известно, равна $$h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$$, где a - сторона треугольника. Следовательно, диагональ AD ромба равна удвоенной высоте треугольника с учетом того, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Таким образом, $$AD = 2 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$$. Подставляя значение $$a = 3\sqrt{3}$$, получим: $$AD = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$. Ответ: 9