Стрелок делает два выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7. Если стрелок в первый раз не попал в мишень, то вероятность попадания при втором выстреле не меняется. Если же стрелок при первом выстреле попал в мишень, то вероятность попадания во второй раз увеличивается до 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно один раз.

Решение:

Обозначим:

• A — событие, что стрелок попал в мишень при первом выстреле.
• B — событие, что стрелок попал в мишень при втором выстреле.

Дано:

• \( P(A) = 0.7 \)
• \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3 \) (вероятность промаха при первом выстреле)
• Если стрелок не попал в первый раз, вероятность попадания во второй раз не меняется, то есть \( P(B | \bar{A}) = P(A) = 0.7 \). (Этот пункт в условии немного запутан, но более логично трактовать так, что если первый промах, то вероятность второго попадания такая же, как если бы это был первый выстрел, или же условие подразумевает, что при втором выстреле вероятность попадания такая же, как и при первом, если первый был промахом. Будем использовать трактовку, что вероятность второго попадания зависит от первого. Наиболее вероятная трактовка условия: «Если стрелок в первый раз не попал в мишень, то вероятность попадания при втором выстреле такая же, как и при первом (0.7)» или «не меняется» означает, что она остается независимой от первого промаха и равна 0.7. Если же вероятность попадания при втором выстреле НЕ меняется, то она должна быть 0.7. Но далее идет условие «Если же стрелок при первом выстреле попал в мишень, то вероятность попадания во второй раз увеличивается до 0,9». Это намекает, что вероятность второго выстрела зависит от первого. Рассмотрим оба варианта трактовки.)

Вариант 1 (Вероятность второго попадания при первом промахе равна 0.7):

$$ P(B | \bar{A}) = 0.7 $$

Вероятность того, что стрелок попадет ровно один раз, может произойти в двух случаях:

1. Попал первым выстрелом и промахнулся вторым: \( A \cap \bar{B} \)
2. Промахнулся первым выстрелом и попал вторым: \( \bar{A} \cap B \)

Найдем вероятность второго случая: \( P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B | \bar{A}) = 0.3 \times 0.7 = 0.21 \)

Теперь нужно найти вероятность \( P(A \cap \bar{B}) \).

Если стрелок попал первым выстрелом, вероятность попадания вторым равна 0.9. Значит, вероятность промаха вторым выстрелом, если он попал первым, равна \( P(\bar{B} | A) = 1 - P(B | A) = 1 - 0.9 = 0.1 \).

Вероятность первого случая: \( P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B} | A) = 0.7 \times 0.1 = 0.07 \).

Вероятность того, что стрелок попадет ровно один раз, равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:

$$ P\(\text{ровно один раз}\) = P\(A \cap \bar{B}\) + P\(\bar{A} \cap B\) = 0.07 + 0.21 = 0.28 \)

Вариант 2 (Условие «вероятность попадания при втором выстреле не меняется» означает, что она не зависит от первого выстрела и равна 0.7, но если первый выстрел был попаданием, она увеличивается до 0.9):

В этом случае, условие «Если стрелок в первый раз не попал в мишень, то вероятность попадания при втором выстреле не меняется» означает, что \( P(B | \bar{A}) = P(A) \) (т.е. 0.7), или что она просто остается 0.7, независимо от первого выстрела. Но затем это противоречит следующему условию. Наиболее логичной трактовкой является, что вероятность попадания при втором выстреле зависит от исхода первого.

Используем трактовку из Варианта 1, так как она наиболее полная и непротиворечивая.

Ответ: 0.28