3. Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 10 меньше другого, равна 2098. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $$x$$, тогда второе число равно $$x + 10$$. Согласно условию, сумма их квадратов равна 2098. Составим уравнение: $$x^2 + (x + 10)^2 = 2098$$ $$x^2 + x^2 + 20x + 100 = 2098$$ $$2x^2 + 20x + 100 - 2098 = 0$$ $$2x^2 + 20x - 1998 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$x^2 + 10x - 999 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-999) = 100 + 3996 = 4096$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4096}}{2} = \frac{-10 + 64}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{4096}}{2} = \frac{-10 - 64}{2} = \frac{-74}{2} = -37$$ Так как мы ищем натуральные числа, то $$x = 27$$. Тогда второе число $$x + 10 = 27 + 10 = 37$$. Ответ: 27 и 37