Свойства радиуса и хорды. Окружности с центром О проведены радиусы ОА и ОВ. Найдите углы треугольника АОВ, если расстояние от центра окружности до хорды АВ в два раза меньше самой хорды АВ.

Пусть расстояние от центра О до хорды АВ равно $$d$$, а длина хорды АВ равна $$c$$. По условию $$d = c/2$$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды, синус угла между радиусом и хордой равен отношению противолежащего катета (половина хорды) к гипотенузе (радиус). Однако, в данном случае, мы имеем дело с углом АОВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - радиус $$R$$, один катет - расстояние $$d$$, а другой катет - половина хорды $$c/2$$. По теореме Пифагора: $$R^2 = d^2 + (c/2)^2$$. Подставляя $$d = c/2$$, получаем $$R^2 = (c/2)^2 + (c/2)^2 = 2(c/2)^2$$. Отсюда $$R = rac{c}{\sqrt{2}}$$. В треугольнике АОВ, если опустить перпендикуляр из О на АВ, он разделит угол АОВ пополам. Пусть этот угол равен $$\alpha$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\sin(\alpha/2) = (c/2) / R$$. Подставляя $$R = \frac{c}{\sqrt{2}}$$, получаем $$\sin(\alpha/2) = (c/2) / (c/\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Следовательно, $$\alpha/2 = 45^\circ$$, и $$\alpha = 90^\circ$$. Таким образом, угол АОВ равен 90 градусов.