Таблица 2. Вертикальные углы. 1) Найдите ∠a₁b₁ и ∠ab₁, если один из углов при пересечении прямых равен 120°. 2) ∠1 + ∠3 = 70°. Найдите ∠2, ∠4. 3) ∠m₁n + ∠m₁n₁ + ∠mn = 240°. Найдите ∠mn. 4) ∠1 − ∠2 = 120°. Найдите ∠3, ∠4. 5) 2(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4. Найдите ∠1, ∠2, ∠3, ∠4. 6) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 5∠4. Найдите ∠4. 7) ∠1 = ∠2 + ∠3. Найдите ∠1, ∠2, ∠3. 8) AB ⟂ CD. Найдите ∠AOE.

1) Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°: ∠a₁b₁ = 120°, ∠ab₁ = 180° − 120° = 60°.

2) ∠1 и ∠3 — вертикальные, поэтому каждый равен 70° : 2 = 35°. Тогда смежные с ними углы ∠2 и ∠4 равны 180° − 35° = 145°.

3) Обозначим ∠m₁n за x. По рисунку ∠m₁n₁ = ∠mn = 180° − x. Тогда x + (180° − x) + (180° − x) = 240°, откуда x = 120° и ∠mn = 60°.

4) ∠1 и ∠2 смежные: их сумма 180°. Вместе с разностью 120° получаем ∠1 = 150°, ∠2 = 30°. Вертикальные им углы равны: ∠3 = 150°, ∠4 = 30°.

5) Пусть ∠1 = ∠3 = x, тогда ∠2 = ∠4 = 180° − x. Подставим: 2(x + x) = (180° − x) + (180° − x). Отсюда 4x = 360° − 2x, x = 60°. Значит, ∠1 = ∠3 = 60°, ∠2 = ∠4 = 120°.

6) Пусть ∠1 = ∠3 = x, а ∠2 = ∠4 = y. Вертикальные углы равны, а смежные — дополнительные: x + y = 180°. Из условия 2x + y = 5y, значит x = 2y. Тогда 3y = 180°, откуда ∠4 = y = 60°.

7) Вертикальные углы ∠2 и ∠3 равны. Обозначим их x. Углы ∠1 и ∠2 смежные, поэтому ∠1 = 180° − x. По условию 180° − x = 2x, откуда x = 60°. Следовательно, ∠1 = 120°, ∠2 = ∠3 = 60°.

8) Луч OE делит прямой угол COB на углы 1 и 2: ∠1 + ∠2 = 90°. Угол AOE состоит из прямого угла AOC и угла 1, поэтому ∠AOE = 90° + ∠1. Числовое значение определить нельзя без величины ∠1 или ∠2; также ∠AOE = 180° − ∠2.

Ответ: 1) 120°, 60°; 2) 145°, 145°; 3) 60°; 4) 150°, 30°; 5) 60°, 120°, 60°, 120°; 6) 60°; 7) 120°, 60°, 60°; 8) ∠AOE = 90° + ∠1 = 180° − ∠2; числовых данных недостаточно.