1. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен \(\frac{1}{3}\). Найдите большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 99.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой \(BC = AH = 9\), \(AD > BC\). \(AH\) - высота трапеции, \(\angle CDH\) - острый.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

\(tg \angle CDH = \frac{CH}{DH} = \frac{1}{3}\). Выразим отрезок DH:

\(DH = 3 \cdot CH\)

Т.к. \(CH = AD - BC\), то \(DH = 3 \cdot (AD - BC)\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. В нём \(DH = 9\)

Подставим в ранее полученное выражение:

\(9 = 3 \cdot (AD - 9)\)

Разделим обе части уравнения на 3:

\(3 = AD - 9\)

Выразим AD:

\(AD = 3 + 9 = 12\)

Большее основание трапеции равно 12.

Ответ: 12