Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Тема «Смежные и вертикальные углы» (3 уровень) Геометрия – 7, п. 11. 1) 7 одного из смежных углов и 4 другого составляют в…Фото задания

Ответ:

Решение:

1. Смежные углы: 7/9 одного и 4/9 другого дают 90°

  1. Пусть смежные углы равны \( x \) и \( y \).
  2. \( x + y = 180^{\circ} \).
  3. По условию: \( \frac{7}{9}x + \frac{4}{9}y = 90^{\circ} \).
  4. Умножим второе уравнение на 9: \( 7x + 4y = 810^{\circ} \).
  5. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 180^{\circ} - x \).
  6. Подставим в уравнение: \( 7x + 4(180^{\circ} - x) = 810^{\circ} \).
  7. \( 7x + 720^{\circ} - 4x = 810^{\circ} \).
  8. \( 3x = 810^{\circ} - 720^{\circ} \) \( \Rightarrow 3x = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow x = 30^{\circ} \).
  9. Найдём \( y \): \( y = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

2. Сумма вертикальных углов в 2 раза меньше смежного

  1. Пусть вертикальные углы равны \( \alpha \). Тогда их сумма равна \( 2\alpha \).
  2. Угол, смежный с \( \alpha \), равен \( 180^{\circ} - \alpha \).
  3. По условию: \( 2\alpha = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \alpha) \).
  4. Умножим обе части на 2: \( 4\alpha = 180^{\circ} - \alpha \).
  5. \( 5\alpha = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 36^{\circ} \).
  6. Вертикальные углы равны 36°.

3. Один из четырёх углов в 11 раз меньше суммы трёх остальных

  1. Пусть углы при пересечении двух прямых равны \( \alpha, \beta, \alpha, \beta \), где \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).
  2. Пусть \( \alpha \) — тот угол, который в 11 раз меньше суммы трёх остальных.
  3. \( \alpha = \frac{1}{11}(\beta + \alpha + \beta) \).
  4. \( 11\alpha = \alpha + 2\beta \).
  5. \( 10\alpha = 2\beta \) \( \Rightarrow \beta = 5\alpha \).
  6. Подставим в уравнение суммы смежных углов: \( \alpha + 5\alpha = 180^{\circ} \).
  7. \( 6\alpha = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 30^{\circ} \).
  8. Найдём \( \beta \): \( \beta = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ} \).
  9. Углы: 30°, 150°, 30°, 150°.
  10. Проверка: \( 30^{\circ} = \frac{1}{11}(150^{\circ} + 30^{\circ} + 150^{\circ}) = \frac{330^{\circ}}{11} = 30^{\circ} \). Условие выполнено.

Ответ: 1) 30° и 150°; 2) 36°; 3) 30°, 150°, 30°, 150°.