Тема «Смежные и вертикальные углы» (3 уровень) Геометрия – 7, п. 11. 1) Один из смежных углов составляет 0,2 другого. Найдите эти смежные углы. 2) Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 325°. Найдите остальные углы. 3) Даны углы а, В и у. Известно, что а > В, α γ< β. Найдите среди этих углов тот, смежный с которым будет наименьшим.

Решение:

1. Один смежный угол составляет 0,2 другого

1. Пусть один смежный угол равен \( x \).
2. Тогда второй смежный угол равен \( 0,2x \).
3. Сумма смежных углов равна 180°.
4. Составим уравнение: \( x + 0,2x = 180^{\circ} \).
5. Решим уравнение: \( 1,2x = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow x = \frac{180^{\circ}}{1,2} = 150^{\circ} \).
6. Найдём второй угол: \( 0,2x = 0,2 \cdot 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

2. Сумма трёх углов при пересечении прямых равна 325°

1. При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары вертикальных.
2. Пусть углы равны \( \alpha, \beta, \alpha, \beta \).
3. Вертикальные углы равны: \( \alpha = \alpha \), \( \beta = \beta \).
4. Смежные углы в сумме дают 180°: \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).
5. Дано, что сумма трёх углов равна 325°. Возможны два случая:
6. Случай 1: \( \alpha + \beta + \alpha = 325^{\circ} \)
7. Подставим \( \beta = 180^{\circ} - \alpha \): \( \alpha + (180^{\circ} - \alpha) + \alpha = 325^{\circ} \)
8. \( 180^{\circ} + \alpha = 325^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 325^{\circ} - 180^{\circ} = 145^{\circ} \).
9. Тогда \( \beta = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ} \).
10. Углы: 145°, 35°, 145°, 35°. Сумма трёх: 145° + 35° + 145° = 325°.
11. Случай 2: \( \alpha + \beta + \beta = 325^{\circ} \)
12. Подставим \( \alpha = 180^{\circ} - \beta \): \( (180^{\circ} - \beta) + \beta + \beta = 325^{\circ} \)
13. \( 180^{\circ} + \beta = 325^{\circ} \) \( \Rightarrow \beta = 325^{\circ} - 180^{\circ} = 145^{\circ} \).
14. Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ} \).
15. Углы: 35°, 145°, 35°, 145°. Сумма трёх: 35° + 145° + 145° = 325°.
16. В обоих случаях углы равны 35° и 145°.

3. Угол, смежный с которым наименьший

1. Пусть даны углы \( \alpha, \beta, \gamma \).
2. Известно: \( \alpha > \beta \) и \( \gamma < \beta \).
3. Из этих неравенств следует, что \( \gamma \) — наименьший угол.
4. Смежный с наименьшим углом будет тот угол, сумма с которым равна 180°.
5. Если \( \gamma \) — наименьший, то смежный с ним угол будет наибольшим, так как \( 180^{\circ} - \gamma \) будет максимальным.
6. Следовательно, нам нужно найти угол, смежный с наименьшим из данных углов. Наименьший угол — \( \gamma \).

Ответ: 1) 150° и 30°; 2) 35° и 145°; 3) Наименьшим будет угол, смежный с наименьшим из данных углов (т.е. с углом γ).