Теоретический вопрос. В каких координатных четвертях расположены ветви гиперболы xy = k при k > 0 и при k < 0? Почему график не пересекает оси координат?

Из уравнения \(xy=k\) следует, что произведение координат точки гиперболы равно постоянному числу \(k\).

1. При \(k>0\) координаты \(x\) и \(y\) имеют одинаковые знаки: либо \(x>0, y>0\), либо \(x<0, y<0\). Поэтому ветви расположены в I и III четвертях.
2. При \(k<0\) координаты имеют разные знаки: либо \(x>0, y<0\), либо \(x<0, y>0\). Поэтому ветви расположены во II и IV четвертях.

График не пересекает оси координат, потому что на оси \(Ox\) имеем \(y=0\), а тогда \(xy=0\), что невозможно при \(k\ne0\). Аналогично, на оси \(Oy\) имеем \(x=0\), и снова \(xy=0\ne k\).

Ответ: при \(k>0\) — I и III четверти; при \(k<0\) — II и IV четверти. Оси координат являются асимптотами гиперболы.