Закончим предложение по смыслу.
В данном предложении говорится: Это мои родители. Их имена Джон и Кейт.
Так как речь идет о моих родителях, то есть о нескольких людях, то нужно использовать притяжательное местоимение My.
Ответ: These are my parents. My names are John and Kate.