9. Тип 9 № 7324 ⅰ) В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диа- гоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 169°.

Пусть ∠CAD = x. Тогда ∠BAC = x, так как AC - биссектриса угла BAD.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin∠ACB} = \frac{AC}{\sin∠ABC}$$

Так как AC = 2AB, то:

$$\frac{AB}{\sin∠ACB} = \frac{2AB}{\sin∠ABC}$$

$$\sin∠ABC = 2\sin∠ACB$$

∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - (∠ACD + ∠CAD) = 180° - (169° + x) = 11° - x

∠ACB = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - (x + 11° - x) = 169°

Тогда:

$$\sin(11° - x) = 2\sin169°$$

Так как углы CDA и ВАВ равны как внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС, то ∠BAC =∠ACD

Получаем, что углы DAC и BCA равны, как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей АС.

Обозначим угол между диагоналями за α. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями:

$$\alpha + x + 169° = 180°$$

$$\alpha = 180° - 169° - x = 11° - x$$

Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то:

$$\angle ADC + \angle BCD = 180°$$

Пусть меньший угол между диагоналями равен x. Тогда больший угол равен 180° - x.

Меньший угол равен:

$$x = |169° - 11°| = 158°$$

Меньший угол между диагоналями параллелограмма равен:

$$\frac{180°-158°}{2}=11°$$

Тогда:

$$x = 11°$$

Меньший угол между диагоналями параллелограмма:

$$11°$$

Ответ: 11