12 Тип 15 № 339385 (1 балл) 394 Площадь прямоугольного треугольника равна 722√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Дано:

Площадь прямоугольного треугольника равна $$722\sqrt{3}$$, один из острых углов равен $$30°$$.

Найти: длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

1. Пусть $$a$$ - катет, лежащий напротив угла $$30°$$, а $$b$$ - другой катет. Тогда площадь треугольника равна $$\frac{1}{2}ab = 722\sqrt{3}$$, следовательно, $$ab = 1444\sqrt{3}$$
2. Т.к. один из углов равен $$30°$$, то $$tg 30° = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, следовательно, $$b = a\sqrt{3}$$
3. Подставим выражение для b в уравнение $$ab = 1444\sqrt{3}$$: $$a \cdot a\sqrt{3} = 1444\sqrt{3}$$; $$a^2 = 1444$$
4. $$a = \sqrt{1444} = 38$$

Ответ: 38