5. Тип 23 № 311700 i Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образу- ет с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Пусть дан треугольник $$ABC$$, где $$BM$$ - медиана, $$\angle AMB = 30^\circ$$, $$\angle CMB = 90^\circ$$.

Обозначим $$AM = MC = x$$.

В прямоугольном треугольнике $$BMC$$:

$$BM = MC = x$$ (так как угол $$\angle MBC = 45^\circ$$).

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме синусов:

$$\frac{AM}{sin(\angle ABM)} = \frac{BM}{sin(\angle BAM)}$$

$$\frac{x}{sin(\angle ABM)} = \frac{x}{sin(\angle BAM)}$$

Поскольку стороны равны, то и углы равны: $$\angle ABM = \angle BAM$$

Сумма углов треугольника $$ABM$$ равна $$180^\circ$$, значит, $$\angle ABM + \angle BAM + 30^\circ = 180^\circ$$, $$2\angle ABM = 150^\circ$$, $$\angle ABM = 75^\circ$$

В треугольнике $$ABC$$:

$$\angle ABC = 75^\circ + 45^\circ = 120^\circ$$

$$\angle BAC = 75^\circ$$

$$\angle BCA = 180^\circ - 120^\circ - 75^\circ = -15^\circ$$

Ошибка в условии задачи.

Предположим, что дан треугольник $$ABC$$, где $$BM$$ - медиана, $$\angle ABM = 30^\circ$$, $$\angle CBM = 90^\circ$$.

1. Проведем высоту $$BH$$ на сторону $$AC$$. Рассмотрим треугольник $$BHM$$. В нем $$\angle H = 90^\circ$$, $$\angle HBM = 60^\circ$$, $$\angle M = 30^\circ$$.

2. В прямоугольном треугольнике $$BHC$$: $$\angle H = 90^\circ$$, $$\angle C = 45^\circ$$, $$\angle CBH = 45^\circ$$, т.е. $$BH = HC$$.

3. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$: $$\angle H = 90^\circ$$, $$\angle ABH = 30^\circ$$, $$\angle A = 60^\circ$$.

4. $$AH = BH \cdot tg(30^\circ) = \frac{BH}{\sqrt{3}}$$.

5. $$AC = AH + HC = \frac{BH}{\sqrt{3}} + BH = BH(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$$.

6. $$AB = \frac{BH}{sin(60^\circ)} = \frac{2BH}{\sqrt{3}}$$.

7. Отношение сторон: $$\frac{AC}{AB} = \frac{BH(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})}{\frac{2BH}{\sqrt{3}}} = \frac{(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$