2. Тип 23 № 339882 i Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 6, а сторона ВС в 1,5 раза меньше стороны АВ.

1. Четырехугольник $$BКPC$$ вписан в окружность, так как все его вершины лежат на окружности. Значит, $$\angle B + \angle KPC = 180^\circ$$ (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам).

$$\angle KPC = 180^\circ - \angle B$$

2. $$\angle APK$$ и $$\angle KPC$$ смежные, поэтому $$\angle APK + \angle KPC = 180^\circ$$. Следовательно, $$\angle APK = \angle B$$.

3. Треугольники $$APK$$ и $$ABC$$ подобны по двум углам: $$\angle A$$ - общий, $$\angle APK = \angle B$$.

4. Из подобия треугольников следует отношение сторон:

$$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$$

Дано: $$AP = 6$$ и $$BC = \frac{2}{3}AB$$ (так как $$BC$$ в 1,5 раза меньше $$AB$$).

Подставим в пропорцию:

$$\frac{KP}{\frac{2}{3}AB} = \frac{6}{AB}$$

$$KP = \frac{6 \cdot \frac{2}{3}AB}{AB} = \frac{4AB}{AB} = 4$$

Ответ: 4