14. Тип 17 № 324155 i Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18 , а косинус угла между ней и одним из оснований равен \frac{2\sqrt{10}}{7}. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) Рассмотрим трапецию ABCD, где BC = 7, AD = 49, AB = 18.

2) Пусть косинус угла A равен \(\frac{2\sqrt{10}}{7}\).

3) Проведём высоту BH. В прямоугольном треугольнике ABH:

$$\cos A = \frac{AH}{AB}$$

$$AH = AB \cdot \cos A = 18 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = \frac{36\sqrt{10}}{7}$$

4) Найдём BH. В прямоугольном треугольнике ABH:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 18^2 - (\frac{36\sqrt{10}}{7})^2 = 324 - \frac{1296 \cdot 10}{49} = 324 - \frac{12960}{49} = \frac{324 \cdot 49 - 12960}{49} = \frac{15876 - 12960}{49} = \frac{2916}{49}$$

$$BH = \sqrt{\frac{2916}{49}} = \frac{54}{7}$$

5) Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{7 + 49}{2} \cdot \frac{54}{7} = \frac{56}{2} \cdot \frac{54}{7} = 28 \cdot \frac{54}{7} = 4 \cdot 54 = 216$$

Ответ: 216