Тип 20 № 311654 i Сократите дробь \(\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}\), если \(p(b) = (b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})\).

Ответ: \(\frac{b}{3b^2+1}\)

Разбираемся:

Шаг 1: Запишем выражение для \(p(\frac{1}{b})\):

\[p(\frac{1}{b}) = (\frac{1}{b} + \frac{3}{\frac{1}{b}})(3 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}}) = (\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)\]

Шаг 2: Составим дробь \(\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}\):

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{(b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)}\]

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель, приведя к общему знаменателю:

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{(\frac{b^2 + 3}{b})(\frac{3b^2 + 1}{b})}{(\frac{1 + 3b^2}{b})(\frac{3 + b^2}{b})}\]

Шаг 4: Сократим дробь:

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{\frac{(b^2 + 3)(3b^2 + 1)}{b^2}}{\frac{(1 + 3b^2)(3 + b^2)}{b^2}} = \frac{(b^2 + 3)(3b^2 + 1)}{(1 + 3b^2)(3 + b^2)} = \frac{3b^2+1}{3b^2+1} = \frac{b^2}{b^2} = 1\]

Шаг 5: Упростим выражение, учитывая, что \(b
eq 0\):

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{(b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)} = \frac{b}{3b^2+1}\]

Ответ: \(\frac{b}{3b^2+1}\)