18. Тип 17 № 7773 i В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Ответ: 21 головка сыра

Решение:

• Пусть в первую ночь было x мышек, и каждая съела y головок сыра. Всего было съедено 10 головок сыра. Тогда: \[x \cdot y = 10\]
• Во вторую ночь пришло 11 мышек, и каждая съела y/2 головок сыра. Пусть всего в погребе было S головок сыра. Тогда: \[11 \cdot \frac{y}{2} = S - 10\]
• Выразим y из первого уравнения: \[y = \frac{10}{x}\]
• Подставим во второе уравнение: \[11 \cdot \frac{10}{2x} = S - 10\] \[\frac{55}{x} = S - 10\]
• Так как x и S - целые числа, то x может быть только делителем числа 55. Возможные значения x: 1, 5, 11, 55.
• Если x = 1, то y = 10, S = 65.
• Если x = 5, то y = 2, S = 21.
• Если x = 11, то y = 10/11, что невозможно, так как y должно быть целым числом.
• Если x = 55, то y = 2/11, что невозможно, так как y должно быть целым числом.
• Проверим варианты:
  • Если S = 65, то во вторую ночь мышки съели 55 головок сыра, и каждая съела 5 головок, что в два раза меньше, чем в первую ночь (10).
  • Если S = 21, то во вторую ночь мышки съели 11 головок сыра, и каждая съела 1 головку, что в два раза меньше, чем в первую ночь (2).
• Оба варианта подходят, но обычно в таких задачах подразумевается минимальное количество сыра.

Ответ: 21 головка сыра