17. Тип 17 № 169898 i В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 5√3. Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагональ AC = 10, угол между диагональю AC и стороной AD равен 30°. Пусть AD = 5√3. Тогда можно найти сторону CD. В прямоугольном треугольнике ADC:$$\cos \angle DAC = \frac{AD}{AC}$$$\cos 30^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{10}$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{10}$$Это подтверждает, что AD = 5√3.Теперь найдем CD:$$\sin \angle DAC = \frac{CD}{AC}$$$\sin 30^\circ = \frac{CD}{10}$$$$\frac{1}{2} = \frac{CD}{10}$$$$CD = 5$$Площадь прямоугольника ABCD равна:$$S = AD \cdot CD = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$$Теперь найдем площадь, деленную на √3:$$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$$