18. Тип 16 № 11033 i В треугольнике АВС проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Найти АК: КС, если ВК = 4 и АС = 6.

Решение:

1. Так как KN - серединный перпендикуляр к стороне BC, то K - точка пересечения KN с BC, и BK = KC = 4.
2. Пусть AK = x. Тогда, по условию, AC = 6.
3. Рассмотрим треугольник ABC, в котором KN - серединный перпендикуляр к BC. Значит, KN является также медианой и высотой треугольника ABC.
4. Треугольник AKC: АК = х, КС = 4, АС = 6.
5. Чтобы найти отношение AK:KC, необходимо найти AK.
6. Воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике AKC:

$$AK^2 + KC^2 = AC^2$$

$$x^2 = AC^2 - KC^2$$

$$x = \sqrt{AC^2 - KC^2}$$

$$x = \sqrt{6^2 - 4^2}$$

$$x = \sqrt{36 - 16}$$

$$x = \sqrt{20}$$

$$x = 2\sqrt{5}$$

7. Тогда отношение AK:KC:

$$\frac{AK}{KC} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Ответ:$$\frac{\sqrt{5}}{2}$$