Тип 21 № 311245. Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта B вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от A до B пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт B, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Обозначим скорость течения реки как (v), а расстояние между пунктами A и B как (S). Тогда скорость катера в стоячей воде равна (4v). Пусть плот и катер встретились через время (t_1). За это время плот проплыл расстояние (v t_1), а катер проплыл расстояние (S - v t_1). Скорость катера против течения равна (4v - v = 3v). Значит: \[3v t_1 = S - v t_1\] \[3v t_1 + v t_1 = S\] \[4v t_1 = S\] \[t_1 = \frac{S}{4v}\] После встречи катер повернул и поплыл по течению со скоростью (4v + v = 5v). Пусть катер доплыл до пункта B за время (t_2). Тогда расстояние, которое он проплыл, равно (S - v t_1). Следовательно: \[5v t_2 = S - v t_1\] Подставляем значение (t_1): \[5v t_2 = S - v \cdot \frac{S}{4v}\] \[5v t_2 = S - \frac{S}{4}\] \[5v t_2 = \frac{3S}{4}\] \[t_2 = \frac{3S}{20v}\] Общее время, которое плот был в пути до момента возвращения катера в пункт B, равно (t = t_1 + t_2): \[t = \frac{S}{4v} + \frac{3S}{20v} = \frac{5S + 3S}{20v} = \frac{8S}{20v} = \frac{2S}{5v}\] За это время плот проплыл расстояние (v t): \[v t = v \cdot \frac{2S}{5v} = \frac{2S}{5}\] Таким образом, плот проплыл (\frac{2}{5}) пути от A до B. Ответ: 2/5