18. Тип 17 № 602 i Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - его цифры, причем $$a$$ и $$b$$ - целые числа от 1 до 9.

По условию, $$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 255 $$. Нужно найти значения $$a$$ и $$b$$, удовлетворяющие этому уравнению.

Разложим число 255 на простые множители: $$ 255 = 3 \cdot 5 \cdot 17 $$. Поскольку $$10a + b$$ - двузначное число, оно должно быть одним из делителей 255. Единственный двузначный делитель 255 - это 17.

Таким образом, $$ 10a + b = 17$$, следовательно, $$ a = 1 $$ и $$ b = 7 $$. Подставим эти значения в уравнение $$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 255 $$:

$$ (10 \cdot 1 + 7) \cdot 1 \cdot 7 = 17 \cdot 7 = 119 $$

Это не равно 255, значит, $$ 10a + b $$ ≠ 17 .

Так как $$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 255 = 3 \cdot 5 \cdot 17 $$, переберем все возможные комбинации множителей, учитывая, что произведение $$ a \cdot b $$ должно быть целым числом:

• Если $$ a \cdot b = 3 $$, то $$ 10a + b = 85 $$ (невозможно, так как $$ a \cdot b = 3 $$ , а не 85).
• Если $$ a \cdot b = 5 $$, то $$ 10a + b = 51 $$ (невозможно, так как $$ a \cdot b = 5 $$ , а не 51).
• Если $$ a \cdot b = 15 $$, то $$ 10a + b = 17 $$. Тогда a = 3, b= 5. Проверим : $$ 17*3*5 = 255$$ (Все верно).

Тогда $$ (10a + b) = 10*3 + 5=35. $$

Ответ: 35.