18. Тип 17 № 2024. Коля и Ира не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Коля делает так: \(\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}\). Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так: \(\frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}\). Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2018}{2019}\) по своим правилам и получили дробь с числителем 1966. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть Коля сделал х сокращений, а Ира — у сокращений. Тогда \(x + y = 20\). После сокращения числитель стал 1966. Коля отнимает 2 от числителя, а Ира — 4. Поэтому можно записать уравнение для числителя: \(2018 - 2x - 4y = 1966\) \(2x + 4y = 2018 - 1966\) \(2x + 4y = 52\) Разделим обе части уравнения на 2: \(x + 2y = 26\) У нас есть система уравнений: \(\begin{cases} x + y = 20 \\ x + 2y = 26 \end{cases}\) Вычтем первое уравнение из второго: \(y = 6\) Тогда \(x = 20 - y = 20 - 6 = 14\) Теперь найдем, что произойдет со знаменателем. Исходный знаменатель равен 2019. Коля отнимает 1 от знаменателя, а Ира — 3. Поэтому новый знаменатель будет: \(2019 - 1x - 3y = 2019 - 14 - 3 * 6 = 2019 - 14 - 18 = 2019 - 32 = 1987\) Ответ: 1987.