9. Тип 9 № 7351 Найдите меньший угол равнобедренной трапеции \(ABCD\), если диагональ \(AC\) образует с основанием \(BC\) и боковой стороной \(CD\) углы, равные 30° и 105° соответственно.

Ответ: 45°

Решение:

1. Дано, что \(\angle BCA = 30^\circ\) и \(\angle ACD = 105^\circ\).
2. Значит, \(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^\circ + 105^\circ = 135^\circ\).
3. Так как трапеция равнобедренная, \(\angle ABC = \angle BCD = 135^\circ\).
4. В равнобедренной трапеции углы при верхнем и нижнем основании равны.
5. \(\angle BAC = 30\). Рассмотрим треугольник \(ABC\):
6. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит \(\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle CAB = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ\).
7. Угол при основании \(\angle BAD\) равен \(\angle BAD = 180 - \angle ABC\) (свойство углов прилежащих к боковой стороне трапеции), следовательно \(\angle CDA=135\).
8. Следовательно \(\angle BAD = 180^\circ - 135^\circ=45^\circ\).
9. В равнобедренной трапеции углы при верхнем и нижнем основании равны, значит \(\angle ADC=45\).
10. Меньший угол трапеции \(ABCD\) равен 45°.

Ответ: 45°