Тип 2 № 167. Найдите значение выражения: $$\left(\frac{2\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}}{\sqrt[12]{2}}\right)^2$$

Для начала преобразуем смешанные дроби в обычные: $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$$ Теперь перемножим их: $$\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}$$ Запишем выражение в виде: $$\left(\frac{\frac{21}{4}}{\sqrt[12]{2}}\right)^2 = \frac{\left(\frac{21}{4}\right)^2}{\left(\sqrt[12]{2}\right)^2} = \frac{\frac{441}{16}}{\sqrt[6]{2}} = \frac{441}{16 \sqrt[6]{2}}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[6]{2^5}$$: $$\frac{441}{16 \sqrt[6]{2}} \cdot \frac{\sqrt[6]{2^5}}{\sqrt[6]{2^5}} = \frac{441 \sqrt[6]{2^5}}{16 \cdot 2} = \frac{441 \sqrt[6]{32}}{32}$$ Ответ: $$\frac{441 \sqrt[6]{32}}{32}$$