Тип 10 № 603: Найдите значение выражения \(\sqrt{50} \cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sqrt{50} \sin^2{\frac{9\pi}{8}}\) .

Для решения этого задания используем тригонометрические формулы. Исходное выражение: \[\sqrt{50} \cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sqrt{50} \sin^2{\frac{9\pi}{8}}\] Вынесем \(\sqrt{50}\) за скобки: \[\sqrt{50} (\cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sin^2{\frac{9\pi}{8}})\] Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\) Тогда выражение примет вид: \[\sqrt{50} \cos{\frac{9\pi}{4}}\] Упростим угол: \(\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\). Поскольку косинус периодичен с периодом \(2\pi\), можем записать: \[\sqrt{50} \cos{\frac{\pi}{4}}\] Известно, что \(\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому: \[\sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5\] Ответ: 5