8. Тип 15 № 323344 / Площаль прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Пусть $$a$$ - катет, лежащий против угла 30°, тогда $$b$$ - другой катет. Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы, то есть:

$$a = \frac{1}{2}c$$

Выразим катет b через гипотенузу:

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{c^2 - \frac{1}{4}c^2} = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$$

Подставим все в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}c = \frac{\sqrt{3}}{8}c^2$$

Выразим гипотенузу:

$$c^2 = \frac{8S}{\sqrt{3}}$$ $$c = \sqrt{\frac{8S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 32\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = 16$$

Ответ: 16