21. Тип 15 № 351262 / Площаль прямоугольного треугольника раяна 5000√3/3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего папротив этого угла.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Пусть угол A = 60°. Тогда катет, лежащий напротив этого угла равен b.

Другой катет выразим через тангенс:

$$tg A = \frac{b}{a}$$ $$a = \frac{b}{tg A} = \frac{b}{tg 60} = \frac{b}{\sqrt{3}}$$

Подставим все в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2\sqrt{3}}$$

Выразим катет:

$$b^2 = 2\sqrt{3}S$$

$$b = \sqrt{2\sqrt{3}S} = \sqrt{2\sqrt{3} \cdot \frac{5000\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 3}{3}} = \sqrt{10000} = 100$$

Ответ: 100