2. Тип 18 № 3896 Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма АВCD, если АВ = 2.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. AB = 2. Нужно найти периметр параллелограмма ABCD.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM равен углу MAD. Обозначим их как α. Аналогично, так как DM - биссектриса угла D, то угол ADM равен углу MDC. Обозначим их как β.

2. В параллелограмме ABCD углы A и D являются односторонними, поэтому их сумма равна 180°. Следовательно, 2α + 2β = 180°, откуда α + β = 90°.

3. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол AMD = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°. Значит, треугольник AMD - прямоугольный.

4. Так как AM и DM - биссектрисы углов A и D, то углы BAM и ADM равны. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM = α, а угол ABM = 180° - 2α. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол AMB = 180° - α - (180° - 2α) = α. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 2.

5. Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. Угол CDM = β, а угол DCM = 180° - 2β. Тогда угол DMC = 180° - β - (180° - 2β) = β. Следовательно, треугольник CDM - равнобедренный, и CD = CM = 2.

6. Так как BC = BM + MC, то BC = 2 + 2 = 4. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 4.

7. Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(2 + 4) = 2 * 6 = 12.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 12.