4. Тип 18 № 8442 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2.3a- пишите решение и ответ.

Т.к. AC - биссектриса угла A, то \(\angle BAC = \angle CAD = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ\). Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, то \(\angle B = 90^\circ\). Тогда \(\angle BCA = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\). Т.к. AD || BC, то \(\angle CAD = \angle BCA = 22.5^\circ\) как накрест лежащие углы. Тогда \(\angle D = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\). Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда CH = AB = 9√2. В прямоугольном треугольнике ACH: \(\angle CAH = 22.5^\circ\), \(\angle ACH = 67.5^\circ\). Тогда AH = CH \cdot \tan(67.5^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 18. Т.к. BC = 9√2, то HD = AD - AH = AH - BC = 9\sqrt{2} + 18 - 9\sqrt{2} = 18. В прямоугольном треугольнике CHD: \[CD^2 = CH^2 + HD^2\] \[CD^2 = (9\sqrt{2})^2 + 18^2 = 162 + 324 = 486\] \[CD = \sqrt{486} = 9\sqrt{6}\] В прямоугольной трапеции ABCD: \(\angle A = 45^\circ\), следовательно, \(\angle D = 135^\circ\). По теореме косинусов: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(45^\circ)\] \[BD^2 = (9\sqrt{2})^2 + (9\sqrt{2} + 18)^2 - 2 \cdot 9\sqrt{2} \cdot (9\sqrt{2} + 18) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[BD^2 = 162 + (162 + 324\sqrt{2} + 324) - 162 \cdot (1 + \sqrt{2})\] \[BD^2 = 162 + 162 + 324\sqrt{2} + 324 - 162 - 162\sqrt{2}\] \[BD^2 = 486 + 162\sqrt{2}\] \[BD = \sqrt{486 + 162\sqrt{2}} = 9\sqrt{6 + \frac{2\sqrt{2}}{9}}\]

Ответ: 9\sqrt{6 + \frac{2\sqrt{2}}{9}}

Проверка за 10 секунд: Длина диагонали BD равна 9\sqrt{6 + \frac{2\sqrt{2}}{9}}.

Доп. профит: Теорема косинусов - мощный инструмент для решения задач, связанных с углами и сторонами треугольников.