5. Тип 18 № 6782 В параллелограмме АВСD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. От- резки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ 4. Запишите ре- шение и ответ.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. AM и DM перпендикулярны. AB = 4. Нужно найти периметр параллелограмма ABCD.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM = углу MAD = 60°/2 = 30°.

2. Так как AM и DM перпендикулярны, то угол AMD = 90°.

3. Рассмотрим треугольник AMD. Угол MAD = 30°, угол AMD = 90°. Следовательно, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

4. Так как ABCD - параллелограмм, то угол A + угол D = 180°. Следовательно, угол D = 180° - 60° = 120°.

5. DM - не биссектриса угла D, так как угол ADM = 60°, а угол D = 120°.

6. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM = 30°, угол ABM = 180° - угол A = 180° - 60° = 120°. Следовательно, угол AMB = 180° - 30° - 120° = 30°.

7. Так как угол BAM = углу AMB, то треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 4.

8. Рассмотрим треугольник CDM. Угол ADM = 60°, угол MDC = 120° - 60° = 60°.

9. Так как угол MDC = 60°, то DM - биссектриса угла ADC.

10. Так как угол MDC = углу ADM = 60°, то угол CDM = 60°.

11. Так как угол CDM = 60°, то треугольник CDM - равносторонний, и CD = CM = DM.

12. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = 4.

13. Так как BC = BM + MC, то BC = 4 + 4 = 8.

14. Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(4 + 8) = 2 * 12 = 24.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 24.