1. Тип 18 № 4375 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

\( \angle\) А = 45°, следовательно, \( \angle\) ABD = 45° (так как \( \angle\) B = 90°). Тогда треугольник ABD - равнобедренный, и AD = BD = 10. Проведем высоту BH к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABH. Так как AB = 5√3, то AH = AD - BC = 10 - 5√3. В прямоугольном треугольнике ABH: \[BH^2 + AH^2 = AB^2\] \[BH^2 + (10 - 5\sqrt{3})^2 = (5\sqrt{3})^2\] \[BH^2 + 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 75\] \[BH^2 = 100\sqrt{3} - 100\] \[BH = \sqrt{100(\sqrt{3} - 1)} = 10\sqrt{\sqrt{3} - 1}\] Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD: \[BD^2 = BH^2 + HD^2\] \[10^2 = (10\sqrt{\sqrt{3} - 1})^2 + HD^2\] \[100 = 100(\sqrt{3} - 1) + HD^2\] \[HD^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 100\] \[HD^2 = 200 - 100\sqrt{3}\] \[HD = \sqrt{100(2 - \sqrt{3})} = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}}\] Тогда большая боковая сторона CD равна: \[CD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{(10\sqrt{\sqrt{3} - 1})^2 + (10\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2}\] \[CD = \sqrt{100(\sqrt{3} - 1) + 100(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{100\sqrt{3} - 100 + 200 - 100\sqrt{3}} = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: 10

Проверка за 10 секунд: Большая боковая сторона трапеции равна 10.

Доп. профит: Теорема Пифагора - твой лучший друг в геометрии. Помни, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов!