Тип 16 № 316346 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. В данном случае у нас есть равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 4, и углом при вершине, равным 120°. Пусть a - боковая сторона треугольника, равная 4, и \(\alpha\) - угол при вершине, равный 120°. Тогда диаметр описанной окружности D можно найти по формуле: \[ D = \frac{a}{\sin(\alpha)} \] Подставим известные значения: \[ D = \frac{4}{\sin(120^\circ)} \] Синус 120° равен синусу 60°, то есть \(\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда: \[ D = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ D = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] Итак, диаметр описанной окружности равен \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)