Тип 17 № 169849 Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, деленную на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств равностороннего треугольника и формулы для его площади. 1. Связь высоты и стороны равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике все стороны равны, и высота, проведенная к любой стороне, является также медианой и биссектрисой. Высота \(h\) связана со стороной \(a\) следующим соотношением: \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] 2. Нахождение стороны треугольника: Мы знаем высоту \(h = 10\). Подставим это значение в формулу и найдем сторону \(a\): \[ 10 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] \[ a = \frac{20}{\sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ a = \frac{20\sqrt{3}}{3} \] 3. Площадь равностороннего треугольника: Площадь \(S\) равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Подставим найденное значение стороны \(a\): \[ S = \frac{\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{400 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{400 \sqrt{3}}{12} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \] 4. Деление площади на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\): Теперь разделим найденную площадь на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\): \[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{100\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 100 \] Таким образом, площадь треугольника, деленная на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), равна 100. Ответ: 100