Тип 9 № 27970 Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $$f = 30$$ см. Расстояние $$d_1$$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $$d_2$$ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.\] Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Дано: $$f = 30$$ см, $$30 \le d_1 \le 50$$ см, $$150 \le d_2 \le 180$$ см. Нужно найти наименьшее значение $$d_1$$ при условии \(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}\). Выразим $$d_1$$ через $$d_2$$ и $$f$$: \(\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - f}{f d_2}\) \(d_1 = \frac{f d_2}{d_2 - f}\) Подставим $$f = 30$$: \(d_1 = \frac{30 d_2}{d_2 - 30}\) Так как нам нужно наименьшее значение $$d_1$$, а $$d_2$$ находится в промежутке от 150 до 180, нам нужно взять наименьшее значение $$d_2$$, то есть $$d_2 = 150$$. \(d_1 = \frac{30 \cdot 150}{150 - 30} = \frac{4500}{120} = \frac{450}{12} = \frac{225}{6} = \frac{75}{2} = 37.5\) Итак, наименьшее расстояние от линзы до лампочки равно 37.5 см. Ответ: 37.5