4. Тип 4 № i Арифметическая прогрессия 5, 8, 11... и геометрическая прогрессия 4, 8, 16... имеют по 50 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Рассмотрим арифметическую прогрессию $$a_n = 5 + 3(n-1)$$, где $$n$$ - номер члена. Тогда $$a_n = 3n + 2$$. Рассмотрим геометрическую прогрессию $$b_m = 4 cdot 2^{m-1}$$, где $$m$$ - номер члена. Тогда $$b_m = 2^{m+1}$$. Нужно найти, сколько членов у этих прогрессий совпадают, то есть нужно найти, сколько решений имеет уравнение $$3n + 2 = 2^{m+1}$$ в целых числах, при условии, что $$1 \le n \le 50$$ и $$1 \le m \le 50$$. Преобразуем уравнение: $$3n = 2^{m+1} - 2$$. Тогда $$3n = 2(2^m - 1)$$. Отсюда следует, что $$2(2^m - 1)$$ должно делиться на 3. Так как 2 не делится на 3, то $$(2^m - 1)$$ должно делиться на 3. Рассмотрим значения $$2^m \mod 3$$: $$2^1 \equiv 2 \mod 3$$ $$2^2 \equiv 1 \mod 3$$ $$2^3 \equiv 2 \mod 3$$ $$2^4 \equiv 1 \mod 3$$ и так далее. Таким образом, $$2^m \equiv 1 \mod 3$$ только при четных $$m$$. Пусть $$m = 2k$$, где $$k$$ - целое число. Тогда $$3n = 2(2^{2k} - 1) = 2(4^k - 1)$$. Отсюда $$n = \frac{2(4^k - 1)}{3}$$. Так как $$1 \le m \le 50$$, то $$1 \le 2k \le 50$$, откуда $$1 \le k \le 25$$. Теперь надо проверить, при каких значениях $$k$$ выполняется условие $$1 \le n \le 50$$. $$n = \frac{2(4^k - 1)}{3} \le 50$$ $$2(4^k - 1) \le 150$$ $$4^k - 1 \le 75$$ $$4^k \le 76$$ $$k=1: n = \frac{2(4^1-1)}{3} = \frac{2(3)}{3} = 2$$ $$k=2: n = \frac{2(4^2-1)}{3} = \frac{2(15)}{3} = 10$$ $$k=3: n = \frac{2(4^3-1)}{3} = \frac{2(63)}{3} = 42$$ $$k=4: n = \frac{2(4^4-1)}{3} = \frac{2(255)}{3} = 170$$ Итак, при $$k = 1, 2, 3$$ выполняется условие $$1 \le n \le 50$$. Соответствующие значения $$m$$ равны $$2, 4, 6$$. Значения $$n$$ равны $$2, 10, 42$$. Соответствующие члены прогрессий: $$a_{2} = 3(2) + 2 = 8$$ $$a_{10} = 3(10) + 2 = 32$$ $$a_{42} = 3(42) + 2 = 128$$ $$b_{2} = 2^{2+1} = 8$$ $$b_{4} = 2^{4+1} = 32$$ $$b_{6} = 2^{6+1} = 128$$ Все три значения меньше, чем 50-й член арифметической прогрессии $$a_{50} = 3(50) + 2 = 152$$, и 50-й член геометрической прогрессии $$b_{50} = 2^{51}$$, поэтому все три найденных члена входят в обе прогрессии. Ответ: 3