20. Тип 20 № 311546 Один из корней уравнения $$3x^2+5x+2m = 0$$ равен -1. Найдите второй корень.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$3x^2 + 5x + 2m = 0$$. По условию, один из корней, например, $$x_1 = -1$$.

Подставим $$x_1 = -1$$ в уравнение, чтобы найти $$m$$:

$$3(-1)^2 + 5(-1) + 2m = 0$$
$$3 - 5 + 2m = 0$$
$$-2 + 2m = 0$$
$$2m = 2$$
$$m = 1$$

Теперь уравнение имеет вид: $$3x^2 + 5x + 2 = 0$$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ сумма корней равна $$-b/a$$, а произведение корней равно $$c/a$$. В нашем случае:

$$x_1 + x_2 = -\frac{5}{3}$$
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$$

Мы знаем, что $$x_1 = -1$$. Тогда:

$$-1 + x_2 = -\frac{5}{3}$$
$$x_2 = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$$

Проверим через произведение корней:

$$-1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$$
$$x_2 = -\frac{2}{3}$$

Таким образом, второй корень равен $$- \frac{2}{3}$$.

Ответ: $$- \frac{2}{3}$$